- BINDER magnetic人字齿同步带是利用复变函数法设计齿形参数
在许多工程问题中，可以用某种保角映射函数把具有复杂形状的边界的域映射为具有已知解的简单边界域，再把简单域的解变换为复杂形状边界的工程问题的域中去而得到解答。即把一个给定的域映射为一个有解析解的简单的域，这个简单的域在某种力的作用下的应力和位移的解就可以变换为在这种力作用下给定域内的解，使复杂问题简单化。人字齿同步带传动过程中，弹性带齿与刚性轮齿槽啮合时的相互作用可以近似看做是两个弹性体的接触，BINDER magnetic将这一问题归于弹性接触力学研究范畴。复变函数法进行齿形各圆弧段半径的确定的方法，是利用平面弹性力学的理论，借助映射函数计算半平面域上对称形状的“齿形”内部应力和位移的数学方法，使复杂齿形的应力和位移较易获得解析解。平面弹性力学理论有以下假定：假定物体是连续的、均匀的和各向同性的；假定物体在所研究力的作用范围内服从虎克定律；假定物体在所研究的力作用范围内的位移和变形远小于其尺寸。
平面弹性力学问题的复变函数解法，用艾瑞应力函数表达的相容方程为[41]：
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¶ 4U + 2 |
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¶ 4U |
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+ |
¶4U |
= 0 |
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(3-11) |
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¶x 2 ¶y 2 |
¶y4 |
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¶x 4 |
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其中 s |
= |
¶2U ， |
s y |
= ¶2U |
，t xy = - |
¶2U |
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¶x ¶y |
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x |
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¶x2 |
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¶y2 |
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。 |
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U 即为艾瑞应力函数，可以写成下面形式： |
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U = |
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1 |
é |
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j |
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+ z |
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+ y |
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ù |
= Re é zj |
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+y |
z ù |
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z |
z |
) |
j |
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z |
1 ( |
z |
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+ y |
1 ( |
z |
z |
(3-12) |
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2 ë |
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1 ( |
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1 ( |
) |
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) |
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)û |
ë |
1 |
( ) |
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1 ( )û |
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其中 j1 (z )、y1 (z )是 z (z = x + yi)的解析函数，j1 (z )、y1 (z ) 分别为j1 (z )、y1 (z ) 的
共轭函数。
将带轮齿槽的工作齿廓作用到带齿上的面载荷，近似等效看做是集中载荷，作
用在带齿工作齿廓的一点 z0 。由复变函数基础理论可知，当集中力 P 作用于平面域
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边界上的一点 z0 时，艾瑞应力函数的两个解析函数表达式为 |
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ïìj1 (z |
) = - |
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X + iY |
ln (z - z0 ) |
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ï |
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2p |
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(3-13) |
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í |
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X - iY |
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X + iY |
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z |
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ïïy1 (z ) = |
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ln (z - z 0 )+ |
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× |
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2p |
2p |
z - z |
0 |
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î |
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其中 X = P cos m ，Y = P sin m 。 |
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平面应力状态下复变函数表达的带齿所受应力式为： |
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s |
x |
+ s |
y |
= 4 Re éj ' |
z |
ù |
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(3-14) |
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ë 1 |
( |
)û |
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s x - s y + 2it xy = 2 ëé |
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j1' (z )+y1' (z )ûù |
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z |
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(3-15) |
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因为带齿的形状比较复杂，力学模型难以建立，为了将公式(3-22)和(3-23)应
用于凸起齿状的半平面域上，来计算新型高齿圆弧齿的应力和位移，采用某一保角映射函数 z = w ( V ) ，建立平面 z = x + yi 和平面 z = x +hi 之间的映射关系。把 z 平面
上新型高齿人字齿同步带的边界围成的域 D 映射到 z 平面的下半平面 D ，把齿廓的边界 C 映
射到实轴 G 上，函数的映射关系如图 3-3 所示。利用保角映射函数可以计算较复杂
形状的带齿表面及内部任一点处的应力。
图 3-3 函数映射关系图
由于 STSB 齿的齿顶存在凹槽，这使得齿廓映射的区域 D 对比实际齿廓形状，恰好在齿顶多了一小块面积，主要本文讨论的是齿侧工作齿廓的受力状况，故可忽略这一小面积对结果的影响。则有，
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ï |
1 |
( |
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) |
1 |
ë ( |
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)û |
( |
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) |
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ìj |
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z |
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= j |
éw |
V |
ù |
= j |
V |
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í |
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= y 1 |
éw ( V ) ù =y ( V ) |
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ïy 1 |
(z) |
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î |
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ë |
|
û |
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将式(3-24)代入式(3-21)中，可得到保角映射下的两个解析函数表达式
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ìj |
( |
z |
) |
= - |
X + iY |
ln éw |
( |
V |
) |
-w t |
ù |
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||||||||||
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ï |
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2p |
ë |
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( |
)û |
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ï |
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í |
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X - iY |
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X + iY |
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w |
( z ) |
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ïy (z ) = |
ln éw |
( |
V |
) |
- w t |
ù + |
× |
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||||||||||||||||||||
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î |
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ë |
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( |
)û |
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( ) |
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( ) |
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ï |
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2p |
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2p |
w z |
-w t |
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由j (z ) ，y (z ) 表达式可以看出，当 w ( z ) = w (t )时，函数是无解的。出现此现
象原因带齿所受的力并不是集中力，而是某种分布力。根据圣文南原理，可以用来研究离作用力区域较远的区域力学特征；但研究力作用区域内和离作用区域较近区域力学特征时，这种等效会带来大的误差[41]。因此，需将两个解析函数的解析部分和不解析部分分开研究，对两个解析函数做以下分解：
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= j 0 |
(z ) +j * (z ) |
(3-18) |
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= y 0 (z ) +y * (z ) |
|||
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|||
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其中 lim j * |
z |
) |
= 0 ， lim y * |
z |
) |
= 0 |
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z ®¥ ( |
|
z ®¥( |
|
。 |
由于边界上的外力是已知的，问题就成为应力边界问题。根据艾瑞应力函数的