Continental ContiTech康迪泰克马牌人字齿同步带复变函数法设计齿形参数
在许多工程问题中，可以用某种保角映射函数把具有复杂形状的边界的域映射
为具有已知解的简单边界域，再把简单域的解变换为复杂形状边界的工程问题的域
中去而得到解答。即把一个给定的域映射为一个有解析解的简单的域，这个简单的
域在某种力的作用下的应力和位移的解就可以变换为在这种力作用下给定域内的解，
使复杂问题简单化。
Continental ContiTech康迪泰克马牌人字齿同步带传动过程中，弹性带齿与刚性轮齿槽啮合时的相互作用可以近似看做是
两个弹性体的接触，本文将这一问题归于弹性接触力学研究范畴。复变函数法进行
齿形各圆弧段半径的确定的方法，是利用平面弹性力学的理论，借助映射函数计算
半平面域上对称形状的“齿形”内部应力和位移的数学方法，使复杂齿形的应力和
位移较易获得解析解。平面弹性力学理论有以下假定：假定物体是连续的、均匀的
和各向同性的；假定物体在所研究力的作用范围内服从虎克定律；假定物体在所研
究的力作用范围内的位移和变形远小于其尺寸。
平面弹性力学问题的复变函数解法，用艾瑞应力函数表达的相容方程为
将带轮齿槽的工作齿廓作用到带齿上的面载荷，近似等效看做是集中载荷，作
用在带齿工作齿廓的一点
z 。由复变函数基础理论可知，当集中力 P 作用于平面域
边界上的一点
0z 时，艾瑞应力函数的两个解析函数表达式为
因为Continental ContiTech康迪泰克马牌人字齿同步带的形状比较复杂，力学模型难以建立，为了将公式(3-22)和(3-23)应
用于凸起齿状的半平面域上，来计算新型高齿圆弧齿的应力和位移，采用某一保角
映射函数 z ，建立平面 z x yi 和平面 i 之间的映射关系。把 z 平面
上Continental ContiTech康迪泰克马牌人字齿同步带新型高齿齿廓的边界围成的域 D 映射到 平面的下半平面 ，把齿廓的边界 C 映
射到实轴 上，函数的映射关系如图 3-3 所示。利用保角映射函数可以计算较复杂
形状的带齿表面及内部任一点处的应力。
由于 STSB 齿的齿顶存在凹槽，这使得齿廓映射的区域 D 对比实际齿廓形状，
恰好在齿顶多了一小块面积，主要本文讨论的是齿侧工作齿廓的受力状况，故可忽
略这一小面积对结果的影响。则有
由 ( ) ， ( ) 表达式可以看出，当 时，函数是无解的。出现此现
象的原因带齿所受的力并不是集中力，而是某种分布力。根据圣文南原理，可以用
来研究离作用力区域较远的区域力学特征；但研究力作用区域内和离作用区域较近
区域力学特征时，这种等效会带来大的误差 [41] 。因此，需将两个解析函数的解析部
分和不解析部分分开研究，对两个解析函数做以下分解
由于边界上的外力是已知的，问题就成为应力边界问题。根据艾瑞应力函数的
查保角映射函数系数表 [41] 得到常量
0b ，然后通过编制的子程序求得映射函数的
系数对ja 和jb ，调整这些系数，就会得到不同的映射齿形，使映射齿形与理论齿形
之间的误差小于所求范围。并将上述所推关系代入方程(3-30)中，即可得出大小为
1N 的载荷作用于沿齿高 1.2mm~2.8mm 上，每隔 0.4mm 位置的应力。由于同步带齿
根承受弯曲应力而断裂是带的主要失效形式之一，在实际计算中，以受载一侧齿根
***的大应力***小为目标。有以往研究表明，影响齿根***大应力的主要齿形参数为齿
根圆半径和齿廓圆半径，图 3-4 表示齿根圆角半径为 0.8mm~1.1mm，集中力作用在
齿高上不同位置时，带齿根的***大应力。图3-5表示齿廓圆半径为6.0mm~9.0mm时，
集中力作用在齿高上不同位置时，带齿根的***大应力
工作弧半径影响带齿的接触刚度和齿廓压力角半径，减小工作弧半径对提高带
的承载能力，改善接触条件有益，但当齿廓半径变小时，带的齿根宽度也相应变小，
降低了带的抗剪切、抗弯曲能力。增大齿根圆半径可减小齿根***大应力，但齿根圆
角半径也不宜过大，过大则减小带齿与轮齿啮合时有效接触面积。而且节距不变时，
带齿槽部分变短，加剧与轮齿顶接触时的磨损。通过综合考虑各因素，主要确定这
两个参数，齿形其他参数如齿顶圆角半径、齿高等，参照已有标准的圆弧齿同步带
设计，尽可能增大带齿高度及带齿的截面积，以提高带齿的承载能力。调整好带齿
的根圆与工作弧半径的关系，以降低齿根应力的集中。各参数的设置须满足计算精
度要求